I - INTRODUCTION

Il faut certainement remonter loin dans le temps pour retrouver les premières motivations de l'homme qui le poussèrent à expédier un objet quelconque, mais de préférence contondant ou tranchant, sur un congénère (acte de guerre) ou un animal (acte de chasse) dans un but de défense ou d'agression.
Les principales motivations devaient sans doute être l'impossibilité de s'approcher de la cible (animal farouche, par exemple) ou la volonté de rester à distance de ladite cible (animal ou adversaire dangereux).

Toute l'histoire de la balistique peut se résumer à un but : envoyer le plus loin et avec la meilleure précision possible un projectile sur un objectif.

Dans ce survol de la balistique nous nous contenterons de parler des armes à feu qui sont loin d'être la seule manière d'envoyer un projectile, tant il est vrai que les dispositifs susceptibles de servir ce but sont nombreux.
En effet, tout système capable de transmettre son énergie potentielle sous forme d'énergie cinétique à un projectile peut satisfaire le besoin d'atteindre une cible placée à une certaine distance. Il n'est qu'à penser aux arcs, arbalètes, lanceurs utilisant un ressort, l'air comprimé voire l'énergie électrique qui, dans ce dernier cas, permet d'atteindre des vitesses très élevées.

Dans cet exposé, nous nous bornerons aux armes à feu et considérerons leur balistique décomposée classiquement en trois grandes parties :

- La balistique intérieure des armes qui traite des phénomènes qui se produisent dans la chambre et le canon de l'arme jusqu'à la sortie du projectile.

- La balistique extérieure qui étudie la trajectoire aérienne du projectile.

- La balistique terminale qui parle de l'interaction projectile / cible. Lorsque la cible est un organisme vivant, ou mort d'ailleurs, on parle de balistique lésionnelle.

Très souvent, la balistique extérieure est elle-même scindée en deux parties :

- la balistique intermédiaire qui s'intéresse à ce qui se passe entre la bouche de l'arme et quelques dizaines de centimètres plus loin, au moment où le projectile quitte le canon. On verra que l'univers dans lequel évolue, heureusement brièvement, notre projectile est tumultueux et chaotique de par l'action des gaz qui se détendent et qui le malmènent quelque peu.

- La balistique extérieure qui commence à la fin de la balistique intermédiaire, lorsque les gaz n'ont plus d'influence sur le projectile, et se termine au moment où le projectile atteint la cible, lieu où commence la balistique terminale.

Commençons par le commencement et parlons un peu de la balistique intérieure des armes.

II - BALISTIQUE INTÉRIEURE DES ARMES

C'est un domaine complexe. Bien que les équations régissant le comportement des gaz à l'intérieur du canon puissent paraître parfaitement absconses au non initié, il est cependant possible de bien appréhender, ne serait-ce que qualitativement, cette partie de la balistique et de laisser aux véritables spécialistes le plaisir d'intégrer leurs équations différentielles.

II-1 - PRINCIPE DE BASE

Dans les armes à feu, on utilise pour propulser un projectile, l'énergie produite par la déflagration d'une substance explosive, communément appelée " poudre ". Cette substance, par définition, est capable de libérer son énergie potentielle en un temps très court, lors d’une réaction chimique, sous forme d'une grande quantité de gaz à très haute température. Ce sont ces gaz qui vont propulser le projectile hors du canon.

Avant d'aller plus loin, voyons, schématiquement, comment fonctionne une arme à feu.

• Une arme à feu, c'est avant tout un tube ouvert à un bout (en général)

Quels que soient son type et sa forme extérieure, une arme à feu est composée d'un canon qui n'est autre qu'un tube ouvert à une extrémité pour laisser sortir le projectile, évidemment. L'extrémité opposée, appelée "chambre" est le lieu où se produit l'explosion de la poudre. L'arrière de la chambre est fermé par une pièce métallique appelée culasse. Sur les armes de petits calibres modernes, l'étanchéité de cette partie du canon est principalement assurée par l'étui de la munition.

Figure II -1/1

• La cartouche

L'évolution des techniques a permis de rassembler la charge propulsive, son sys tème de mise à feu et le projectile dans un seul composant : la cartouche dont on trouvera un schéma dans la figure II -1/2 ci-dessous.

Figure II -1/2

Ci-dessous figurent quelques modèles de cartouches et les détails d'un projectile pour armes modernes.

Figure II -1/3

Figure II -1/4

Figure II -1/5

Les projectiles présentent des formes et des compositions variées selon la nature de la cible et le type d'interaction projectile/cible que l'on recherche, tout en respectant au mieux les lois de l'aérodynamique.

Au moment de l'explosion de la charge de poudre, la pression des gaz s'applique sur toutes les parois de la chambre et sur l'arrière du projectile, le culot, qui, d'un diamètre pratiquement identique à celui de l'intérieur du canon assure une l'étanchéité aux gaz tout en présentant une moindre résistance que les parois de la chambre. Le projectile est donc être poussé par les gaz vers la bouche du canon selon le principe du piston.

On trouvera dans la Figure II -1/6 ci-dessous, un schéma représentant une coupe au niveau des culasse, chambre et début du canon avec une cartouche au moment du départ du coup. Le projectile a déjà pris les rayures.

• Adaptation arme-munition

Dans le couple arme/munition, le lanceur (l’arme) est développé autour de la munition selon l’algorithme suivant :

Figure II -1/7

• Canon lisse, canon rayé

La partie interne des canons appelée "âme" se présente généralement sous deux aspects : lisse ou rayée de manière hélicoïdale, à pas constant ou variable. Ces rayures permettent d'appliquer au projectile, durant son parcours dans le canon, un moment de rotation dans le but de supprimer son comportement erratique lors de son trajet dans l'air.

A) Canon à âme lisse B) Canon à âme rayée

Figure II -1/8

• La forme des projectiles a changé avec le temps... et le désir d'une plus grande précision

A l'origine des armes à feu, les projectiles étaient en plomb et de forme sphérique. Une sphère pleine et homogène a un centre qui est, à la fois, géométrique, de gravité et de symétrie.
Le principe était simple. L'intérieur des canons était lisse. Le calibre des canons n'était pas donné selon son diamètre, mais plutôt, et ce jusqu'au XIXème siècle environ, par le nombre de sphères de plomb que l'on pouvait couler, pour le diamètre de ce canon dans une ancienne livre de plomb (489,5 g). On retrouve encore de nos jours cette ancienne habitude pour les armes de chasse à canon lisse. Par exemple, le calibre 12 à un diamètre théoriquement de 18,5 mm et on pouvait couler 12 sphères de plomb pour ce calibre qui est plus gros que le calibre 16.

• La raison d'être des rayures

Les premières rayures hélicoïdales sont mentionnées en 1476. Les rayures droites le sont, elles, en 1498.

Les balisticiens de l'époque se rendirent rapidement compte des piètres performances des armes à canons à âmes lisses et de leurs projectiles sphériques en plomb. La portée de ces armes était faible et leur précision décroissait rapidement avec la distance. De nouvelles solutions s'imposaient.

Lors de leur trajet dans le canon lisse, les balles sphériques, de part leur conception, étaient soumises à des forces de frottements dissymétriques et variables d'un tir à l'autre. Elles sortaient du canon en étant animées d'un mouvement de rotation sur elles-mêmes qui, par interaction avec l'air, faisait sortir leur trajectoire du plan de tir. Elles étaient dotées d'un "effet" semblable à celui observés dans les jeux de balle tel que golf, tennis, footbal ou autre. La différence étant que, dans le domaine du sport, cet effet est recherché et maîtrisé alors que dans les armes enciennes il était aléatoire du fait que les frottements dus à l'interaction entre la balle et l'âme du canon n'étaient pas identiques d'un tir à l'autre. L'idée fut donc, puisque "effet" il devait y avoir, de le prévoir en imposant une rotation, ou pas, au projectile grâce à des rayures hélicoidales ou rectilignes. Dans le cas de rayures hélicoidales, la trajectoire sortait toujours de la trajectoire mais on savait dorénavant de quelle manière et en quelle proportion. Il suffisait ensuite de munir le système de visée d'une abaque tenant compte de cette déviation en fonction de la distance.

L'idée de créer des balles plus aérodynamiques qu'une sphère et d'une trajectoire plus prévisible aboutit à la réalisation de projectiles de formes allongées, oblongues et dont l'avant présente un profil plus ou moins pointu.

Une des particularités de ces projectiles tient à ce qu'ils ne possèdent pas de centre de symétrie mais un axe de symétrie selon leur longueur. Quand on les tire dans un canon à âme lisse, ils se montrent parfaitement instables. Ils basculent ou tournoient (on emploi parfois le mot " barriquer ") durant leurs trajectoires aériennes.

Parmi les différents moyens de stabiliser un projectile, l’on choisit d’utiliser l’effet gyroscopique qui transforme en un mouvement de précession la tendance de ce projectile à basculer dès qu’il sortait du canon. Dans ce but, il fallait faire tourner le projectile à grande vitesse autour de son axe longitudinal. On traça donc des rayures hélicoïdales dans l’âme du canon de façon à lui imprimer un mouvement de rotation qu’il conservera tout au long de sa trajectoire. Nous aurons l’occasion d'évoquer cette stabilisation par effet gyroscopique au chapitre " balistique extérieure ".

Nota : toutes les armes qui tirent des projectiles stabilisés par rotation, ne comportent pas systématiquement un canon rayé. Certaines de ces armes possèdent un canon à âme non pas cylindrique mais polygonale.

• L'élément moteur des armes

On appelle élément moteur d'une arme ce qui lui apporte l'énergie nécessaire à son fonctionnement. Quand on parle de fonctionnement, il s'agit bien sûr de lancer un projectile mais aussi, dans le cas de la plupart des armes modernes automatiques ou semi automatiques, d'assurer son alimentation.

Les moyens de propulsion ou les agents moteurs

Les agents moteurs capables d'apporter à une arme l'énergie nécessaire à son fonctionnement sont variés. On peut, pour l'exmple, en citer quelques uns :

  - Gaz comprimé : air, azote, hélium ou hydrogène selon les vitesses désirées. Outre les armes à
     air comprimé, Il s'agit également de moyens de propulsion utilisés dans des canons de tests
     de laboratoires ;

  - Ressorts comprimés, élastiques ;

  - Électricité. On utilise la force générée par un champ électromagnétique ;

  - Substances explosives.

C'est la propulsion à l'aide de substances explosives qui est majoritairement utilisée d'où l'appellation armes à feu. Si ce n'est peut-être pas la plus simple, elle est devenue la plus pratique et permet le fonctionnement aussi bien d'armes de forte puissance que d'autres de faible volume et facilement transportables.

Le moteur de l'arme à feu étant la pression des gaz générée par la combustion de la poudre, nous nous arrêterons un instant sur cette, ou plutôt, sur ces poudres.

II - 2 - LES POUDRES

Les poudres sont des substances explosives dont la réaction de combustion, c’est à dire le dégagement de leur énergie, est suffisamment faible (au regard d'autres types d'explosifs) pour être utilisées à des fins de propulsion. Ces substances se transforment selon le régime de la déflagration. Leur vitesse de transformation linéaire est de l'ordre de quelques centaines de mètres par seconde.

Ce comportement explosif est généralement dû à une combustion c'est à dire une réaction d'oxydoréduction. La particularité tient à ce que, dans cette réaction, l'oxygène nécessaire à la combustion n'est pas principalement emprunté à l'air ambiant (la réaction serait trop lente) mais se trouve intégré à l'intérieur de la poudre, voire de la molécule active. Cette particularité explique la vitesse de la réaction.

• La poudre noire

L’auteur arabe Ab Allah aurait, le premier, fait mention du salpêtre (13ème siècle). Tout laisse à penser que les chinois l’inventèrent à une époque ancienne et s’en servaient pour les feux d’artifice. Pratiquement à la même époque, Roger BACON, aurait donné une formule de la poudre noire. L’histoire nous laisse surtout le souvenir du moine allemand, Berthold SCHWARZ, qui aurait perdu la vie en tentant de l’utiliser comme moyen de propulsion dans les bombardes. Une légende prétendrait que le Diable en rit encore. La poudre noire est un mélange de nitrate de potassium ou parfois de sodium, de soufre et de charbon de bois. Les proportions de ces divers éléments, broyés très finement, étant variables selon la vivacité recherchée, on devrait plutôt parler " des poudres noires ".

L'histoire semble avoir retenu la triste date, pour la France, de la bataille de Crécy (1346) en ce qui concerne l'apparition de la poudre noire sur le champ de bataille.
Les Anglais devaient posséder deux ou trois canons qui se firent remarquer de la troupe et des observateurs plus par leur bruit que par leur efficacité car, comme ces derniers purent le constater, une fois remis de leurs émotions : " Le Seigneur et la douce Vierge Marie en soient loués, ils ne blessèrent ni homme, ni femme, ni enfant ".

Elle aura été utilisée pendant près de cinq siècles, jusqu’à ce que M. VIEILLE invente les poudres sans fumée (poudres à la nitrocellulose).

La poudre noire n’est plus utilisée de nos jours sauf par les tireurs sportifs aux armes anciennes et par certains fabricants de cartouches à projectiles en caoutchouc. Il faut garder à lesprit que la poude noire est d'un usage relativement délicat. En effet, c'est une substance explosive dont la vitesse de transformation est de l'ordre de 900 m/s soit proche de la limite séparant classiquement les explosifs progressifs fonctionnant dans le mode de la déflagration, dont font partie les poudres, et les explosifs brisants qui, eux, se tranforment dans le mode de la détonation. Selon son confinement, la poudre noire peut passer assez facilement du régime progressif (déflagration) à celui de brisant (détonation) avec des conséquences néfastes sur le matériel et, événtuellement, le tireur et le proche environnement.

 

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• Les poudres modernes (dites sans fumée)

On les appelle assez souvent " poudres sans fumée " bien qu’elles ne soient pas des poudres et qu’elles ne soient pas vraiment sans fumée.
Dans ces produits propulsifs, on utilise les propriétés explosives de la nitrocellulose, substance obtenue par l’action de l’acide nitrique sur le coton.

Par nature, la nitrocellulose est un explosif, donc inutilisable en l’état. Pour lui conférer une combustion lente, en contrôler la vitesse et lui assurer une bonne stabilité, on gélatinise la nitrocellulose avec un mélange éther-alcool.

 

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• Poudres simples bases et multibases

Il existe deux grandes familles de poudres sans fumée : les "simples bases " et les " multibases ".
Dans les poudres simple base, le seul produit actif est la nitrocellulose. Tous les autres produits présents dans la composition ont incorporés uniquement en vue d'assurer la stabilité et le contrôle de la vitesse de combustion.

Dans la famille des poudres multibases, on distingue les poudres " double base " et les poudres " triple base ". Dans ces deux types de poudres multibases on ajoute de la nitroglycérine qui augmente le niveau énergétique de la poudre.

Les poudres " double bases " produisent moins de fumée et ont un meilleur rendement énergétique. Elles présentent cependant l’inconvénient d’éroder plus rapidement les canons du fait de leur température de combustion très élevée.

Pour pallier cet inconvénient et retrouver les qualités des poudres " simple base ", tout en conservant la fabrication aisée des poudres " double base ", on ajoute une troisième base, la nitroguanidine. On obtient une température de combustion semblable à celle des " simple base " tout en conservant un grand potentiel propulsif.

 

Figure II - 2/1

• Les " poudres " se présentent sous forme de grains

Contrairement à leur appellation, les poudres se présentent sous forme de grains de formes variées. La combustion, donc le dégagement des gaz s'effectue à la surface des grains. On comprend aisément que plus la surface du grain est importante plus la quantité de gaz se dégageant en un temps donné est élevée. La forme des grains de la poudre, outre sa composition chimique, influe grandement sur sa vivacité, c'est à dire sa vitesse de combustion.

• Influence de la forme des grains

Pour une quantité de matière donnée, la forme géométrique présentant la surface minimale est la sphère. Partant de cette limite inférieure, on donne aux grains de poudre des formes géométriques ayant des surfaces de plus en plus étendues (parallélépipèdes, paillettes, feuilles, cylindres pleins, cylindres creusés d'un trou central ou de multiples trous selon l'axe longitudinal).
Ses différentes formes permettent d’avoir des grains de poudre dont la surface varie ou demeure pratiquement constante durant la phase de combustion.

Miltirary Ballistics - GM Moss, DW Leemings, CL Farrar

• Caractéristiques mécaniques des grains de poudre

Les grains de poudre doivent présenter une bonne résistance mécanique car, lors de leur combustion et de la montée en pression, ils seront soumis à des contraintes mécaniques importantes. Ils ne devront pas se briser sinon leur forme sera évidemment modifiée de même que leur vitesse de combustion et, in fine, la vivacité de la poudre.

• Allumage de la poudre

La combustion de la poudre est initiée par un système d’allumage. Pour les armes de petits calibres, on utilise une amorce placée au culot de l’étui. Cette amorce contient un explosif primaire par nature peu puissant, au regard d'autres explosifs, mais très sensible au choc et, en général, aux contraintes extérieures.

Parmi les explosifs utilisés, on trouve le styphnate de plomb autrement appelé trinitrorésorcinate de plomb et le fulminate de mercure qui, relativement instable, tombe en désuétude.

• Mécanisme d'allumage

Lorsque l’amorce est frappée par le percuteur, la déflagration de l’explosif qu’elle contient projette des gaz à haute température et des particules incandescentes qui vont enflammer la poudre. Des gaz chauds vont être émis à la surface des grains.

Idéalement, tous les grains de poudre devraient être enflammés simultanément, la pression en chambre devrait monter rapidement jusqu’à son maximum, y rester jusqu’à la combustion totale de la poudre et se détendre à partir de cet instant. Ainsi la vitesse du projectile serait optimisée.

En réalité, il n’en est rien. Une poudre " sans fumée " donne une pression qui augmente progressivement en fonction du temps et reste à ce maximum un instant très bref.
La combustion de la poudre n’est jamais complète.
De plus, il existe des ondes de pressions, prenant naissance dans les régions où la poudre s’enflamme, qui se propagent jusqu’aux limites de l’étui et au culot du projectile où elles se réfléchissent et peuvent interférer en certains points. Le champ de pression dans la chambre n’est pas homogène et ce phénomène très complexe peut influer sur les contraintes mécaniques subies par les parois de la chambre ou de l'étui et la vitesse de combustion des grains de poudre.

Quoi qu’il en soit, après l'allumage, la pression en chambre croît et les gaz chauds viennent pousser sur le culot du projectile. Ce dernier ne bougera pas tant que la force générée par la pression des gaz sur son culot sera inférieure à celle due aux frottements statiques de son sertissage sur l’étui qui sont un facteur important de la montée en pression initiale en chambre.

II-3 - LE MOUVEMENT DU PROJECTILE DANS LE CANON

À partir de l'ignition de l'amorce, il est intéressant d'étudier l'évolution temporelle de trois phénomènes dans la chambre et le canon d'une arme.

La pression en chambre continuant de croître, le projectile commence à avancer et se trouve face à de nouveaux frottements qui présenteront une résistance à son déplacement.
Cette résistance dépend du type de stabilisation choisi pour le projectile. Pour les projectiles stabilisés par rotation la résistance à l’avancement la plus importante du cycle balistique sera la prise de rayures.
En effet pour communiquer au projectile le couple de rotation lui permettant d’atteindre sa vitesse de rotation optimale, les rayures de l’âme du canon devront, pour les armes de petits calibres, pénétrer relativement profondément dans sa chemise. Les obus, pour leur part, sont dotés d'une ceinture de matériau ductile dont l’un des rôles est d’interagir avec les rayures du canon.

Military Ballistics - GM Moss, DW Leemines, CL Farrar

Figure II-3/1

Le mouvement du projectile a pour conséquence une augmentation du volume de la chambre de combustion, phénomène qui devrait entraîner une diminution de la pression.

Mais la vitesse de combustion de la poudre augmente rapidement avec la pression et des valeurs très élevées sont atteintes avant le mouvement du projectile. La résultante de ces deux phénomènes antagonistes est l’atteinte rapide du maximum de pression dans la chambre. Ce maximum se produit généralement peu après la prise de rayures alors que, idéalement, on souhaiterait le voir se produire au moment de la prise de rayures.

Corrélation entre : pression, vitesse, position

Figure II-3/2

• Les frottements contre les parois du canon

L'étanchéité devant être assurée entre le projectile et l'âme du tube, les frottements sont importants. Dans les canons rayés, il existe également des frottements projectiles/rayures. On considère généralement trois sortes de frottements :

• Force nécessaire à la prise des rayures ;

• Force de frottement, métal/métal, due au mouvement du projectile dans le tube ;

• Force de frottement normale à la paroi des rayures (pour les canon rayés).

Dans le schéma de la figure figure II -3/3 ci-dessous, l'auteur décompose les frottements en leurs différentes composantes. Pour notre part, par la suite, dans un but de simplification, nous appellerons FR la force résultante de tous les frottements qui s'oppose à l'avancée du projectile. Elle est représentée par un vecteur colinéaire à la force due aux gaz mais de sens opposé.

Balistique intérieure des canons - M. Krier, M. Summerfield

Figure II -3/3

Les forces de frottements présentent un maximum lors de la prise des rayures.

Military Ballistics - GM Moss, DW Leemines, CL Farrar

Figure II-3/4

• Les paramètres agissant sur la vitesse du projectile dans le canon

Passons à l'étude de ce qui se passe dans le canon et voyons les paramètres qui agissent sur le mouvement du projectile.

Les phénomènes, notamment ceux concernant la production des gaz et leurs actions sur le projectile, sont complexes. La combustion de la poudre n'est pas instantanée. Des ondes de pression se propagent de la culasse ou du fond de l'étui vers le culot du projectile, s'y réfléchissent, repartent vers l'arrière tout en rencontrant d'autres qui se propagent vers l'avant créant ainsi un phénomène d'ondes stationnaires dont les distances entre les nœuds et les ventres de pression varient en même temps que le projectile avance.

Le problème peut néanmoins se simplifier en partie en considérant d'une part que les gaz constituent un milieu continu, à savoir qu'un élément infinitésimal (particule) de gaz contient une grande quantité de molécules et d'autre part en faisant l'hypothèse d'une densité de gaz uniforme de la culasse au culot du projectile. L'expérience montre que cette approximation est convenable pour des vitesses allant jusqu'à 1000 m/s et on verra qu'elle nous est utile lorsqu'on voudra avoir une idée de l'énergie cinétique des gaz à la sortie du canon.

Revenons à notre projectile et voyons à quelles sollicitations il est soumis. Ce sont des forces. Nous avons détaillé les forces de frottements. On la vu, on en fait l'addition (vectorielle) afin d'obtenir une résultante que l'on nommera FR pour force de résistance à l'avancement. Elle sera dirigée vers l'arrière et évidemment opposée à la force FG due à l'action, sur le culot, de la pression engendrée par les gaz, qui est dirigée, elle, vers l'avant. Notre système de forces résultante est on ne peut plus simple : une force FG ayant tendance à accélérer le projectile vers l'avant et une autre FR qui, elle, aura tendance à le freiner.

Ces deux forces peuvent, à leur tour, être additionnées vectoriellement pour donner une force résultante appliquée au projectile que l'on appellera FP. En prenant comme positif le sens de la culasse vers la bouche de l'arme, on obtient une équation simple reliant FP, FR et FG :

Equ. II - 3/1

Dès lors, l'équation ci-dessus nous permet d'envisager trois cas :

• FG > FR : FP est positive. Le projectile est accéléré. Sa vitesse croît vers la bouche du canon ;

• FG = FG : FP est nulle. À mesure que le projectile avance FG décroît. À un certain moment, très bref, nous avons l'égalité des forces   FR et FG. À cet instant l'accélération est nulle et la vitesse du projectile est constante ;

• FG < FR : FG continuant de décroître, si le canon est suffisamment (trop) long, FR étant plus grand que FG, l'accélération devient négative. Le projectile décélère. Il sortira du canon avec une vitesse plus faible qu'elle ne l'aurait été avec un canon à la bonne longueur. À la limite, le projectile s'arrêterait dans le canon.

L'image ci-dessous présente le principe simplifié d'une arme à feu avec les trois forces agissant sur le projectile.

Figure II-3/5

Les frottements dans le canon ne sont pas constants. Ils sont particulièrement importants au moment de la prise de rayures et de leurs gravures dans la chemise du projectile ou la ceinture s'il s'agit d'un obus. Cependant, une fois ce passage difficile effectué, on peut admettre, sans nuire à la généralité, l'hypothèse qu'ils sont constants, ou prendre une valeur moyenne, pour le reste du trajet dans le canon. À notre niveau, les envisager variables compliquerait le problème inutilement et n'aiderait pas à la compréhension du phénomène. Partant de ces prémices nous allons déterminer les paramètres ayant une influence sur la vitesse du projectile une fois la prise des rayures effectuée. Partant de l'équation que nous venons d'établir reliant FP, FR et FG, les calculs ne sont pas longs et nous allons pouvoir les détailler ci-dessous.

Quand on se lance dans ce genre d'entreprise il faut savoir ce que l'on cherche et où l'on veut aller. Dans notre cas, nous souhaitons aboutir à une relation où la place de chaque paramètre nous permettra de comprendre comment il agit sur la vitesse de sortie du projectile. À ce niveau d'étude, peu nous importe la manière dont ce paramètre varie finement. L'important est de comprendre comment il agit globalement. Nous nous plaçons donc dans l'optique d'une analyse qualitative. L'aspect quantitatif suivra éventuellement mais, dans ce cas, nous devrons réaliser des mesures dont les résultats seront intégrés dans les équations.

Hypothèses simplificatrices

Ces hypothèses permettront, sans nuire à la généralité, d'arriver à une relation relativement synthétique concernant les paramètres influençant la vitesse de sortie du projectile.

Hypothèse - 1 - Les frottements

On a vu que notre étude débute une fois que la prise des rayures a eu lieu et qu'à partir de ce moment nous considérons les frottements comme constants. Nous décidons de ce choix car, que ces frottements soient constants ou pas, ils freinent le projectile.

Hypothèse - 2 - La pression dans le canon

On l'a vu, le phénomène est complexe. Nous avons déjà admis l'hypothèse que les gaz constituent un milieu continu et présentent une densité uniforme de la culasse au culot du projectile. La force FG créée par l'action des gaz sur le culot du projectile est de la forme :

Equ. II - 3/2

Dans'léquation II - 3/2, F_G représente le produit d'une surface par une pression.

Avec

L = longueur du canon ;

mp = masse du projectile ;

Vp= vitesse du projectile ;

Pp = pression au culot du projectile ;

A = section du culot du projectile ;

xP = position du projectile ;

PGmoy = pression moyenne des gaz ;

FGmoy = force moyenne due aux gaz ;

FP = force résultante appliquée au projectile ;

FG = force due à l'action des gaz sur le culot du projectile ;

FR = force de résistance à l'avancement due aux frottements.

Nous ne connaissons pas de quelle manière l'intensité de FG varie avec le temps. Ce que nous savons, par contre, c'est qu'elle pousse le projectile. De quelle manière elle le pousse, seules des mesures de pressions nous le diraient mais, d'une manière globale, elle le pousse. Dès lors on peut envisager une pression moyenne dans le canon qui nous est donnée en connaissant la vitesse de sortie du projectile et la longueur du canon. La physique nous donne une relation d'équivalence entre l'énergie cinétique du projectile et le travail de la force moyenne des gaz :

Equ. II - 3/3

La relation ci-dessus présente l'avantage que la force moyenne* FGmoy peut être réellement calculée dès lors que l'on connait la masse du projectile, sa vitesse à la bouche et la longueur du canon.

* Nota : Il faut prendre garde qu'introduire une force moyenne implique de facto une pression moyenne. Il faut bien comprendre que ces hypothèses n'ont qu'une seule utilité : la compréhension du phénomène. Il ne faudrait pas utiliser ces valeurs moyennes dans le calcul de la résistance d'une arme. En effet, les moyennes ont tendance à lisser les courbes à "raboter" les pics et combler les creux. Les graphiques ci-dessus (Figures II - 3/2 et II - 3/4) sont éloquents les pics de pression sont élevés et c'est à partir de ces derniers que la résistance de l'arme doit être définie.

Il est utile de faire apparaître la force moyenne FGmoy comme une fonction de la pression :

ou avec la pression moyenne

on obtient

Partant de l'équation liant FP, FR et FG :

La deuxième loi de la dynamique nous permet d'écrire :

En opérant le changement de variable suivant :

on obtient

Soit :

La dernière équation peut s'écrire :

En intégrant :

on obtient

et finalement

La dernière équation nous permet d'obtenir Vp

Equ. II-3/4

Ou, si l'on souhaite faire apparaître FGmoy :

Equ.II-3/5

Cette équation est le résultat de calculs mathématiques. Il faut maintenant l'utiliser dans le contexte de la physique, de la balistique. Il est important de comprendre qu'elle nous donne des informations concernant l'influence de certains paramètres sur la vitesse du projectile à la bouche de l'arme. Il ne faudrait pas la considérer comme une fonction donnant la variation de la vitesse du projectile dans le canon. D'ailleurs, ni le temps, ni la distance n'apparaissent dans l'équation. Pour faire simple, il ne faut pas trop lui en demander. On décèle d'ailleurs assez rapidement ses limites :

• Si FG > FR , tout va bien, nous sommes dans un contexte de fonctionnement normal d'une arme et nous avons une valeur de Vp ;

• Si FG = FR, rien d'anormal balistiquement puisque dans ce cas FP est nulle et Vp est nulle ;

• La difficulté intervient lorsque nous envisageons le cas où FG < FR,. C'est notamment le cas lorsque, dans des canons trop longs pour la puissance de la munition, la vitesse du projectile passe par un maximum puis décroît. On observe d'ailleurs ce phénomène sur certains lanceurs de balles de défense déclinés en version "canon(s) long(s)" et "canon(s) court(s). Dans cette éventualité, notre équation nous envoie dans un monde imaginaire mathématiquement parlant. En effet, dans ce cas le terme sous le radical est négatif et il n'y a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels. Le domaine d'existence de notre relation commence à zéro et, ces préliminaires posés, on peut voir quelles sont les informations qu'elle nous fournit. Mais, auparavant voyons une simplification de cette relation.

Simplification de la relation

On peut éviter ce problème d'existence d'une solution à notre relation en s'affranchissant des frottements. Dans notre raisonnement on part du principe que la force FG due à la pression est supérieure aux frottements. On arrive ainsi à une relation simplifiée de la forme suivante, proche de la première :

Equ. II-3/6

Si l'on analyse mathématiquement l'équation 2 ou 3, on en déduit que la vitesse du projectile à la sortie de du canon est d'autant plus élevée que la pression moyenne, la section du culot du projectile et la longueur du canon sont elles-mêmes élevées. À contrario, la masse du projectile agit en sens inverse, à savoir que, tous les autres paramètres étant fixés, plus la masse du projectile est élevée plus la vitesse à la bouche est faible.

Si cette équation est intéressante pour la compréhension du phénomène, il faut néanmoins, on l'a déjà dit, la remettre dans le contexte physique, définir ses limites au sens balistique et analyser chacun des paramètres.

On va régler tout de suite le sort de la section du culot A et de la masse du projectile mp : ce sont des valeurs constantes. Voyons les autres.

La pression moyenne P ne peut pas être constante. Même en régime adiabatique (pas d'échange avec l'extérieur) le volume à l'arrière du projectile croît en même temps que ce dernier se déplace vers l'avant et la pression diminue forcément, une fois que toute la poudre est brûlée (Figure II-3/2).

La longueur du canon L ne peut pas être aussi grande que l'on veut. Il y a une longueur optimum au delà de laquelle la force, générée par la pression des gaz, qui accélère le projectile, devient plus faible que les forces de frottement tendant à le freiner. Au delà d'une certaine longueur de canon la vitesse de sortie du projectile diminue. Elle peut même devenir nulle, le projectile restant dans le canon. D'où l'intérêt d'utiliser la bonne vivacité de poudre en fonction de la longueur du tube. On évite ainsi un gaspillage d'énergie (toute la poudre brûle avant la sortie du projectile) et, en même temps, le projectile sort avec sa vitesse maximum (Figure II-3/2).

• Projectiles sous-calibrés

Revenons sur la section du culot A et de la masse du projectile mp. On constate que, tous les autres paramètres étant fixés, si l'on augmente la section du culot du projectile en ne modifiant pas ou très peu sa masse, on obtient une vitesse à la bouche plus élevée. Nous avons là le principe des projectiles sous-calibrés : on enserre le projectile dans un sabot réalisé en matériau léger mais de forte section et l'ensemble est éjecté à une vitesse bien plus importante que celle qu'aurait atteinte le projectile seul, s'il avait été tiré dans un canon de son calibre.

• Moment d'inertie du projectile et masse équivalente

Jusqu'à maintenant nous avons envisagé l'action de la force FG due aux gaz comme faisant avancer le projectile vers la bouche de l'arme en luttant comme les frottements. Une analyse plus fine nous montre que la force FG doit en réalité lutter contre trois oppositions :

1 - Les forces de frottements ;

1 - La force d'inertie du projectile dont la masse s'oppose à toute modification de son mouvement de translation ;

3 - La force d'inertie du projectile due à son moment d'inertie qui s'oppose à sa mise en rotation.

On combine les deux forces d’inertie (déplacement et rotation) en introduisant une masse équivalente μ :

avec

Equ. II-3/7

Nous obtenons l'équation des forces :

Equ. II-3/8

avec a l'accélération du projectile

• Vitesse de rotation du projectile

Sur sa trajectoire la stabilité du projectile est assurée par effet gyroscopique. Il est mis en rotation dans le canon grâce aux rayures.

La vitesse de rotation ω à la bouche de l'arme peut être obtenue à l'aide de deux formules. On utilise l'une ou l'autre selon que l'on connaît le pas des rayures ou leur angle α par rapport à l'axe du canon.

ou

Equ. II-3/9

Précisons que l'accélération de rotation existe dès la prise des rayures. Il n'est point nécessaire que le projectile ait parcouru une distance équivalente à un pas des rayures pour avoir sa vitesse de rotation définitive. D'ailleurs, dans les formules ci-dessus, la longueur du canon n'intervient pas. En clair, deux projectiles ayant la même vitesse à la bouche ont la même vitesse de rotation qu'il soient tirés dans un canon de 2 pouces ou 4 pouces dès lors que les deux canons de longueur différente sont rayés au même pas, par exemple de 25 cm.

• Quantité de mouvement du projectile et des gaz à la bouche de l'arme

La quantité de mouvement du projectile et des gaz à la bouche de l'arme sont les deux facteurs principaux intervenant dans le phénomène de recul de l'arme. Quand nous parlons de ces quantités de mouvement "à la bouche", il faut entendre juste avant que le projectile ne quitte le canon. Dans ce cas la partie de la veine gazeuse au culot du projectile a la même vitesse que ce dernier.

- Quantité de mouvement du projectile

Produit de la masse du projectile Mproj par sa vitesse Vproj à la bouche, elle est aisée à calculer dès lors que nous connaissons ces valeurs.

- Quantité de mouvement des gaz

Le problème est plus délicat. Contrairement au calcul de la quantité de mouvement du projectile qui est aisé car nous connaissons, par la mesure, sa vitesse à la bouche de l'arme, nous ne pouvons pas mesurer la vitesse de la veine gazeuse. Nous allons la déduire de celle du projectile.

Si l'on souhaite un calcul qui ne soit pas trop compliqué, on doit envisager quelques hypothèses simplificatrices. En effet, une analyse de ce qui se passe dans le canon à l'arrière du projectile nous amène à la constatation suivante. On garde l'hypothèse simplificatrice de l'homogénéité de la veine gazeuse et on la découpe, perpendiculairement à l'axe du canon, en tranches très fines ; on saucissonne cette veine gazeuse en tranches aussi fines que l'on veut et on regarde ce qui se passe. Il est clair que la tranche de gaz au contact du culot du projectile à la même vitesse que ce dernier mais la tranche de gaz au contact de la culasse ou du fond de l'étui à une vitesse nulle. Entre ces deux tranches extrêmes, toutes les autres ont une vitesse différente selon leur position dans le canon. Le problème semble donc compliqué.

On résout cette dificulté en considérant non plus la vitesse de chacune des tranches de gaz mais celle du centre de gravité de la veine gazeuse. La position du centre de gravité de la veine gazeuse doit être connue puisque c'est sa variation qui donne sa vitesse. La position du centre de gravité des gaz dépend de la répartition de leur volume, ce qui nous conduit envisager deux cas : le cas des canons avec chambre et le cas des canons sans chambre.

En balistique intérieure une distinction est faite entre deux types de canons :

1 - Les canons avec chambre : l'extrémité du canon contenant la poudre, la cartouche, est d'un diamètre supérieur à celui du canon. C'est le cas généralement des armes puissantes notamment de la plupart des fusils mais également de certains pistolets automatiques tirant ce que l'on appelle communément des "cartouches bouteilles" ;

2 - Les canons sans chambre : l'extrémité du canon contenant la poudre, la cartouche n'a pas un diamètre sensiblement différent de celui du canon. C'est le cas par exemple des révolvers et de certains pistolets automatiques comme ceux tirant la munition de 9x19 mm.

 

1 - Cas des canons sans chambre

Un canon sans chambre peut être considéré comme un cylindre. La répartition du volume étant symétrique par rapport au milieu du cylindre, quand le projectile atteint la bouche du canon, le centre de gravité se trouve au milieu du canon.

Le calcul n'est pas très complexe et nous le présentons ci-dessous.

En notant :

Qg = quantité de mouvement des gaz 

xg = position du centre de gravité du gaz

x  = position du culot du projectile

Vxg  = vitesse du centre de gravité du gaz au point xg

mg= masse des gaz

ρ  = densité du gaz

A  = aire du culot du projectile

VP  = vitesse du projectile

QP = quantité de mouvement du projectile

La quantité de mouvement des gaz est donnée par la relation : Qg = mg x Vxg.

En introduisant ρ la masse volumique des gaz et considérant la variation de la position de leur centre de gravité, on obtient :

Dans les canons sans chambre, la quantité de mouvement des gaz à la bouche est égale au produit de la masse des gaz par la moitié de la vitesse du projectile.

Equ. II-3/11

Méthode intuitive

On peut envisager un raisonnement intuitif pour arriver au même résultat.

Remplaçons les gaz par un ressort comme élément propulseur. La spire du ressort au contact du culot de l'étui est animée de la même vitesse. La vitesse de la spire au fond de la cuvette de tir est nulle. À un instant donné, la vitesse de chacune des spires augmente de la culasse vers le culot du projectile. Lorsque ce dernier atteint la bouche de l'arme, la spire du milieu, lieu du centre de gravité du ressort, considéré comme bien équilibré, à parcouru la moitié de la distance parcourue par le culot du projectile et sa vitesse sera également la moitié de celle du projectile (Figure II - 3/5 ci-dessous).

Figure II - 3/5

2 - Cas des canons avec chambre

Dans les canons avec chambre, la répartition du volume gazeux n'est pas symétrique du fait de la présence même de la chambre. Quand le projectile atteint la bouche de l'arme, le centre de gravité des gaz est en arrière du milieu du canon. Il a parcouru moins de la moitié de la distance parcourue par le projectile. Il est donc animé d'une vitesse inférieure à la moitié de celle du projectile.

Il n'y a pas de formule générale donnant la vitesse des gaz lorsque le projectile atteint l'extrémité du canon puisque la répartition du volume gazeux est propre à chaque arme. Cependant, des mesures effectuées sur diverses armes permettent d'émettre des ordres de grandeurs : soit VCG la vitesse du centre de gravité des gaz lorsque le culot du projectile atteint la bouche de l'arme et VP la vitesse du projectile au même instant, VCG est de l'ordre de 0,46 à 0,47 VP au lieu de 0,5 VP dans les canons sans chambre. La différence est minime mais elle existe.

• Énergie cinétique des gaz

Le tableau ci-dessous donne le bilan énergétique classiquement retenu lors d'un tir.

Military Ballistics - GM Moss, DW Leemines, CL Farrar

Figure II - 3/6

On constate que la part d'énergie répartie dans les gaz, que ce soit sous forme de chaleur ou d'énergie cinétique est importante.

Il peut être utile de connaître l'énergie cinétique des gaz à la bouche pour diverses raisons, par exemple avoir une idée de leur potentiel lésionnel. On sait qu'un tir à bout touchant au niveau du crâne avec une balle à blanc est susceptible d'engendrer des lésions graves voire mortelles.

Pour obtenir l'énergie cinétique des gaz à la bouche du canon, il est classique de partir de l'équation de continuité des gaz de Lagrange qui permet de connaître la répartition de la vitesse des gaz derrière le projectile :

On suppose une densité uniforme des gaz de la culasse jusqu'au culot du projectile soit:

L'intégration de l'équation de Lagrange donne un résultat de la forme :

Énergie cinétique des gaz :

Si cette relation présente un aspect sympathique, elle n'est pas tout à fait juste. En effet, au delà de 600 m/s la densité des gaz commence à ne plus être uniforme. On est amené à introduire un coefficient δ de façon à obtenir l'expression suivante :

Énergie cinétique des gaz :

Equ. II-3/12

Jusqu'à une vitesse de 600 m/s, on prend δ = 3. Au-delà on re réfère au graphique 4 ci-dessous :

Balistique intérieure des canons - M. Krier, M. Summerfield

Figure II - 3/7

On constate que, jusqu'à 1000 m/s, δ varie faiblement et que pour les armes de petits calibres classiques, la vitesse des gaz à l'arrière du projectile est de l'ordre du tiers de celle de ce dernier.

La résolution mathématique du problème de l'énergie cinétique des gaz à la bouche de l'arme est relativement longue. Le lecteur intéressé pourra trouver ici le déroulement des calculs.

• Le recul des armes

On ne peut clore le chapitre de la balistique intérieure sans aborder le phénomène du recul des armes.

Il est admis que le recul des armes est dû à trois composantes :

1 - La quantité de mouvement du projectile ;

2 - La quantité de mouvement des gaz ;

3 - L'effet de souffle à la bouche du canon.

Les points 1 et 2 viennent d'être traités et permettent de poser l'équation suivante :

Equ. II - 3/13

Le signe "-" devant le second membre indique que la somme des quantités de mouvement du projectile et des gaz est en sens inverse de celle de l'arme et que la somme de toute les quantités de mouvement et nulle, ce qu'elle était pour le système avant le départ du coup.

Le point 3 est plus épineux et mérite notre attention car des expérimentations montrent que la contribution de l'impulsion due au souffle des gaz libérés à la bouche peut atteindre près de 30% sur certaines armes puissantes comme les fusils de guerre en calibre 7,62 x51 mm. C'est d'ailleurs ce qui explique l'utilité des freins de bouche.

On peut tenter de résoudre ce problème en cherchant du côté du fonctionnement des tuyères qui est très bien compris depuis longtemps. Nous pouvons donc dire que la poussée exercée à chaque instant sur l'arme par les gaz éjectés est donnée par l'équation :

Avant même d'étudier sommairement cette équation, nous devons faire preuve d'une certaine méfiance car cette relation décrit le fonctionnement d'une tuyère en régime établi, alors que le phénomène qui nous intéresse est transitoire.

L'application de cette équation à notre problème particulier de recul des armes nous amène à émettre des conclusions négatives auxquelles sont arrivés d'autres balisticiens intéressés par ce phénomène :

La Pression Nette des Gaz à la Sortie est simplement la pression moyenne des gaz à la bouche moins la pression atmosphérique. La pression dans le canon avant la sortie du projectile est de plusieurs centaines de bars. Elle chute à zéro en une fraction de seconde, ce taux de variation, nécessaire à notre étude, est inconnu et tous les chiffres que nous pourrions utiliser ne sauraient être que des conjectures.

L'Aire de la Sortie, qui est la section transversale à la bouche du canon est aisément calculable à partir du diamètre, connu, du canon.

Le Débit Massique est, comme le premier terme évoqué, inconnu pour ce qui concerne nos calculs sur le recul.
Finalement, tout ce que cette équation nous dit est que plus la pression atmosphérique est élevée, moins le recul de l'arme dû au souffle à la bouche est important et que, plus la pression atmosphérique est élevée, moins la Pression Nette des Gaz à la Sortie est forte. Effectivement, il est aisément compréhensible que si l'air ambiant est à la même pression que les gaz à l'intérieur du canon, les gaz ne sortiront pas du tout et le recul dû à cet effet sera nul.

L'équation ci-dessus ne nous apporte pas grand chose concernant notre problème. Tournons nous vers la littérature.

Les ouvrages spécialisés donnent des valeurs de sortie des gaz divergentes, allant de 670 m/s (Kneubuehl) à 1500 m/s pour d'autres auteurs (Ingénieur Général Moreau). À leur décharge, ces valeurs dépendent du calibre, du type de poudre et de la puissance de l'arme. Seul Kneubuehl précise que la valeur donnée concerne le 9 mm Luger et que pour le .38 Special la vitesse de sortie des gaz est de 930 m/s.

Un calcul réalisé à partir du demi angle au sommet du cône de Mach à l'arrière d'un projectile (interaction gaz/culot du projectile) à la sortie du canon, de la vitesse moyenne de la veine gazeuse et de la vitesse du son dans le volume gazeux à la température de 1200 K, nous donne une vitesse initiale d'éjection des gaz de 1013 m/s pour un projectile animé d'une vitesse à la bouche de 330 m/s. Compte tenu de l'incertitude des mesures cette valeur calculée est à prendre comme un ordre de grandeur.

Il semble qu'à ce sujet la théorie montre ces limites et que ce soit vers l'expérimentation qu'il faille se tourner.

En mesurant la vitesse de recul de l'arme Varme lors d'un tir et connaissant sa masse Marme, nous obtenons facilement sa quantité de mouvement Qarme. Il en est de même pour les quantités de mouvement du projectile Qproj et des gaz Qgaz. Si nous appelons Igaz l'impulsion due au gaz, sa valeur nous est donnée en résolvant l'équation ci-dessous :

Nous sommes restés un certain temps à la bouche de l'arme. Avançon un peu et observons la sortie du projectile du canon. Nous entrons dans le domaine de la balistique intermédiaire.

Mais avant d'aller plus loin nous sommes dans une situation où nous avons un projectile qui, de par la transformation d'une énergie potentielle chimique en une énergie cinétique, est doté d'une capacité d'effectuer un travail mécanique sur une cible. On sait qu'il est également animé d'une quantité de mouvement capable d'être transmise violemment. Lequel des deux critères doit-on choisir pour évaluer son efficacité : l' énergie cinétique ou la quantité de mouvement (réponse ci-dessous*) ?.

*Réponse : l'énergie cinétique d'un projectile le dote d'une capacité à effectuer un travail mécanique sur une cible. Ce travail mécanique sera d'autant plus important que cette énergie cinétique sera bien utilisée. C'est donc l'énergie cinétique qui est le critère d'efficacité d'un projectile. Même si beaucoup de théories ont été développées sur le stopping power, l'énergie cinétique demeure le seul critère réellement scientifique utilisé dans les laboratoires de balistique.

Développons un peu le sujet.

• Énergie cinétique versus quantité de mouvement. L'exemple du pendule balistique.

L'énergie et la quantité de mouvement sont deux grandeurs physiques qui répondent à la loi de conservation. C'est à dire, pour faire simple, qu'en mécanique classique, newtonienne, elles ne peuvent pas être crées ex nihilo ni disparaître.

Si l'énergie se conserve, elle peut se présenter et se transformer en diverses formes d'énergie. C'est le cas notamment de l'énergie cinétique qui, lors d'une interaction, peut se transformer en d'autres types d'énergie.

La quantité de mouvement, quant à elle, ne peut que transmettre du mouvement.

Ces propriétés particulières à l'énergie et à la quantité de mouvement sont schématisées dans la figure ci-dessous.

Figure II - 3/8

Exemple d'application avec le pendule balistique

De nos jours, la vitesse des projectiles est mesurée précisément avec différents appareils notamment des chronographes balistiques ou des radars à effet Doppler.

Avant l'avènement des ces appareils sophistiqués, on utilisait le principe du pendule balistique. Le dispositif pouvait être constitué, par exemple, d'un récipient rempli de sable, la face avant étant obturée par une fine feuille de plomb. Moyennant quelques précautions expérimentales, notamment réaliser le tir au niveau du centre de gravité du dispositif, faible angle de rotation α du pendule, on pouvait déduire avec une bonne précision la vitesse d'impact du projectile à partir de la hauteur h_p = h₁-h₂= h₁.(1-cos α) atteinte par le pendule ; voir les deux figures ci-dessous. Cette méthode de mesure est un bon exemple de l'utilisation de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement.

Pendule au repos avant l'impact	Pendule après impact

Résolution du problème

Lors de l'impact, l'énergie cinétique du projectile est distribuée entre différents phénomènes : déplacement du sable, chaleur, déformation éventuelle du projectile, déplacement du pendule, etc. On ne peut pas utiliser l'équivalence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle pour déduire directement la vitesse du projectile.

Le problème se résout en trois étapes.

Étape 1 : Calcul de la vitesse initiale du pendule due à l’impact.

Connaissant la hauteur h_p atteinte par le pendule et sa masse m_p , on peut connaître sa vitesse initiale v_p. On utilise la relation d'équivalence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

L'étape 1 nous permet de connaître la vitesse initiale du pendule v_p juste après l'impact :

Equ. II - 3/16

Étape 2 : Calcul de la quantité de mouvement du pendule due à l’impact.

Connaissant la vitesse initiale du pendule v_p, calculée à partir de l'équation II - 3/16, et sa masse m_p nous pouvons connaître sa quantité de mouvement Q_p.

Equ. II - 3/17

Étape 3 : Calcul de la vitesse du projectile v_proj au moment de l’impact.

Selon le principe de la conservation de la quantité de mouvement, la quantité de mouvement du pendule Q_p est égale à celle du projectile Q_proj qui l'a impacté. Ainsi, connaissant la quantité de mouvement du pendule Q_p, on connaît également celle du projectile Q_proj dont on peut déduire la vitesse v_proj au moment de l'impact.

Application numérique

Un projectile de 8 g  est tiré sur un pendule balistique, constitué de sable, d'une masse totale de 5 kg. Le pendule atteint une hauteur de 5 cm par rapport à sa position initiale de repos. 

Quelle est la vitesse du projectile au moment de l’impact ?

(On négligera le poids de la suspension du pendule ainsi que l’énergie de rotation).

Réponse

Étape 1 : Calcul de la vitesse initiale du pendule due à l’impact.

Étape 2 : Calcul de la quantité de mouvement du pendule due à l’impact.

Étape 3 : Calcul de la vitesse du projectile v_proj au moment de l’impact.

La quantité de mouvement du projectile Q_proj étant égale à celle du pendule Q_p, nous obtenons :

Nota : Il n’y a que dans le cas idéal de choc parfaitement élastique (pas de perte d'énergie) que "énergie cinétique -> énergie cinétique". D’ où la nécessité de savoir choisir le bon outil au bon moment et selon le phénomène.

Nous verrons que, dans certains autres cas, l'utilisation de la quantité de mouvement est également pertinente.

III - LA BALISTIQUE INTERMÉDIAIRE

Un projectile dans la tourmente

Il est à noter que certains balisticiens et non des moindres ne font pas de distinction et ne parlent pas de balistique intermédiaire. Ils considèrent que, dès lors que le projectile quitte le canon, il s'agit de balistique extérieure et que ce qui se passe à la bouche de l'arme est un épiphénomène qui met l'accent sur la nécessité d'une bonne stabilisation, ce qui est vrai au sens propre du terme. Nous ne prônons pas de méthode particulière mais, compte tenu des phénomènes intéressants qui s'y passent, nous avons décidé de traiter à part cette phase initiale de la balistique extérieure.

La balistique intermédiaire correspond donc à la phase initiale du vol du projectile au cours de laquelle les gaz exercent encore une action sur ce dernier.

Durant son trajet dans le canon, le projectile joue le rôle d’un piston et la vitesse des gaz derrière lui est limitée par sa propre vitesse à condition qu’il existe une bonne étanchéité entre le projectile et la paroi interne du canon. Ce qui n’est pas toujours le cas en pratique. Il arrive souvent, en effet, de voir une partie des gaz de combustion précéder de peu le projectile à la bouche du canon, comme le montre la vidéo* ci-dessous.

La séquence est détaillée dans l'image ci-dessous.

Figure III - 1/2

À la sortie du canon, les gaz se détendent et, n’étant plus bloqués par le culot du projectile, accélèrent et dépassent ce dernier.

Au tout début de cette phase, la différence de vitesse entre celle du projectile et celle des gaz est telle qu’une onde de choc se crée au culot. Ce phénomène est très net en prise de vue haute vitesse, comme le montrent, ci-dessous, la vidéo* et la séquence d'images.

La séquence est détaillée dans l'image ci-dessous.

Figure III - 1/4

On se trouve dans la même situation que si le projectile se déplaçait dans les gaz le culot en avant et à une vitesse supersonique.

Le projecitle se trouve soumis à deux contraintes majeures :

1 - La rencontre brutale avec l'air ambiant que l'on appelle percussion initiale ;

2 - Les gaz qui exercent une poussée sur le culot.

À la sortie du canon, l'axe longitudinal du projectile n'est jamais parfaitement aligné avec celui du canon. Du fait des actions conjuguées de la percussion initiale et des gaz, il est soumis à un couple de forces tendant à le faire basculer.

La figure ci-dessous représente la situation.

Figure III - 1/5

• Les conséquences de l'action des gaz sur le projectile.

Ci dessous, nous voyons le comportement normal d’un projectile prévu pour être stable par rapport au milieu, l'air, avec lequel il interagit.

Figure III - 1/6

L'image qui suit nous présente la situation dans laquelle se trouve le projectile soumis à l'action des gaz.

Figure III - 1/7

C'est durant cette phase que l'efficacité de la stabilisation est cruciale.

Les phénomènes à la bouche de l'arme sont schématisés ci-dessous.

Figure III - 1/8

La stabilisation du projectile ayant été efficace, il sort de cette région agitée pour aborder la phase aérienne de sa trajectoire. Nous entrons dans la balistique extérieure proprement dite.

IV - LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE

• Les deux approches de la balistique extérieure.

Classiquement, l'étude de la balistique extérieure est subdivisée en deux parties :

1 - La balistique dans le vide : la seule force agissant sur le projectile est son poids ;

2 - La balistique dans l'air : on tient compte de l'interaction du projectile avec le milieu dans lequel il se propage, l'air.

IV-1 - LA BALISTIQUE DANS LE VIDE

Le projectile n’est soumis qu’à une seule force : son poids.
Il est animé d’une vitesse dont le vecteur représentatif, V,  tangent à sa trajectoire, génère un plan, le plan de tir.

Ce vecteur vitesse V peut être décomposé selon une composante horizontale et une autre verticale :

La composante horizontale selon l'axe des x :

Equ. IV-1/1

La composante verticale selon l'axe des y :

Equ. IV-1/2

Avec α l'angle de tir.

Figure IV -1/1

• Les forces appliquées au projectile

Nous avons décomposé le mouvement du projectile en deux composantes selon les axes x et y. Pour étudier ce mouvement sur la trajectoire, nous allons définir les forces qui s'appliquent sur ces composantes.

Selon x :

Equ. IV-1/3

 

Selon y :

Equ. IV-1/4

Avec, pour les deux équations :

Nous rappelons ci-dessous les équations du mouvement uniformément accéléré puisque, dans notre cas, c'est de cela qu'il s'agit :

Figure IV-1/2

• Interprétation des équations des forces selon x et y.

Selon x, la force Fx est nulle donc l'accélération est nulle, la variation du mouvement est également nulle. Il n'y a pas d'air ni aucun autre frottement pour modifier le mouvement dans cette direction. Il pourrait continuer indéfiniment, identique à lui-même, tant que le projectile ne rencontre pas un obstacle.

Selon y, la force Fy n'est pas nulle. Comme pour la composante horizontale, il n'y a pas d'air ni aucun frottement. Mais il y a le poids du projectile qui est une force. Elle agit sur la composante verticale du mouvement. On peut d'ailleurs dire qu'elle agit différemment selon les phases de la trajectoire. Elle freine à la montée, à tel point qu'à un certain moment la vitesse verticale s'annule, puis accélère le mouvement à la descente de telle manière que, pour la même altitude, la vitesse du projectile est identique à la montée et à la descente, mais de direction opposée. C'est ce qui explique que, lors d'un tir sur terrain horizontal, la vitesse d'arrivée est la même que la vitesse initiale, tant dans son intensité (son module) que pour la valeur de son angle.

La seule force modifiant le mouvement selon la verticale est le poids du projectile qui est le produit de sa masse par l'accélération de la pesanteur g. On considère que g ne varie pas sur la trajectoire. C'est une bonne approximation si l'on n'est pas artilleur et que l'on n'envoie pas des projectiles en tirs courbes à plusieurs dizaines de kilomètres de distance. Nous sommes donc, dans le sens de la verticale, dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré.

Tous les paramètres initiaux tels que la vitesse Vo, l'angle de tir, le poids du projectile (en considérant que g ne varie sur la trajectoire) sont fixés dès le départ du coup. Il ne varieront pas durant le vol du projectile. On peut représenter la trajectoire par une équation généralisée.

• Équation généralisée y = f(x)

Le tableau IV-1/1 nous donne les variations de y en fonction du temps. C'est le résultat de l'application de la deuxième loi de la dynamique F = m x dv/dt qui, par double intégration nous donne y = f(t). Suivant le même processus, le tableau nous donne aussi x = f(t). Nous avons :

	Equ. IV-1/5
et
	Equ. IV-1/6

Les équations IV-1/5 et 6 sont les équations générales que nous allons adapter à notre situation et simplifier par la même occasion. L'accélération a est remplacée par celle de la pesanteur g. Nous avons vu que g n'a d'action que sur y. Nous allégeons les équations en prenant x0 = y0= 0, c'est à dire que nous étudions le mouvement à partir de la bouche de l'arme dont les coordonnées sont x0 = 0 et y0 = 0. Nous obtenons :

Equ. IV-1/7

Equ. IV-1/8

Le signe "-" signifie que g, grandeur vectorielle, est de sens opposé à celui du mouvement.

Pour l'instant nous avons des informations sur les valeurs de x et de y en fonction du temps t. Très souvent, il est utile de connaître la trajectoire en fonction de la distance x, c'est à dire sous la forme d'une fonction du type y = f(x) que nous allons obtenir grâce à une transformation simple.

En posant t = x / Vcosα et en injectant cette valeur à la place de t dans l'équation de y, nous obtenons, après quelques arrangements, l'équation générale de y en fonction de x.

Equ. IV-1/9

C'est l'équation d'une parabole. En ramenant le projectile à son centre de gravité, on peut tracer une courbe de sa trajectoire.

Figure IV -1/3

Pour la clarté de la figure IV -1/1, le projectile est ramené à son centre de gravité G.

La seule force à laquelle est soumis le projectile est son poids P.

La composante horizontale Vx de la vitesse V est constante. Seule la composante verticale de V, Vy varie.

V varie car Vy varie. Sous l'action de P,  Vy diminue en phase ascendante (phase 1 et 1').

Vy s'annule à l'apogée de la trajectoire et V est minimum (phase 2).

Lors de la phase descendante (phase3), sous l'action de P, Vy augmente, de même que V.

À la même altitude, la valeur de V est identique en module mais de direction opposée.

La vitesse finale st donc égale à la vitesse initiale.

En continuant notre étude, nous allons déterminer sur cette parabole un certain nombre de points caractéristiques. Cf. figure IV -1/2, ci-dessous :

Figure IV -1/4

• La parabole de tir 

La figure IV -1/2 ci-dessus présente une parabole de tir et ses points particuliers donnant la distance et le temps pour les atteindre.

La droite (D) est la directrice de la parabole de tir et le point F son foyer.

Le cercle de centre O et de rayon A est le lieu des foyers de toutes les paraboles de tir pour la même vitesse initiale Vo et l'angle de tir α variable.

La tangente (T) est bissectrice de l'angle AOF.

Le point P est le point caractéristique de l'enveloppe des paraboles de tir  sous angle de tir variable et Vo constante . Elle est la parabole ayant pour foyer l'origine et pour sommet le point A. 

Pour une vitesse initiale Vo  donnée, tous les points du plan sous l'enveloppe des paraboles de tir peuvent être atteints par deux paraboles de tir correspondant à deux angles de tir.

Les points du plan extérieurs à l'enveloppe des paraboles de tir ne peuvent pas être atteints. C'est la raison pour laquelle on appelle l'enveloppe des paraboles de tir parabole de sûreté.

• Les paraboles de tir

Sur la figure IV-1/3 ci-dessous figurent des paraboles de tir pour différents angles de tir pour la même vitesse initiale. On constate, en particulier, que les buts, B1, B2, B3 et B4 peuvent être atteints par deux paraboles ayant des angles de tir différents. De manière générale tout point du plan sous la parabole de sureté peut être atteint par deux paraboles de tir. Cela peut présenter un intérêt pratique à savoir qu'un même objectif peut être atteint par une trajectoire parabolique relativement rasante ou par une autre dont l'apogée plus élevée permet, par exemple, de passer au-dessus d'un obstacle.

Figure IV -1/5

• Définir deux paraboles de tir pour un même but avec une même vitesse initiale - Méthode géométrique

Sur la figure IV-1/4 ci-dessous on se propose d'atteindre le but B, qui se trouve sur une première parabole de tir, avec une autre parabole de tir.

Le départ du tir se trouve en 0. Le foyer F1 de la première parabole (Tir1) se trouve sur le cercle C1 centré en 0 et tangent à la droite directrice (D).

Le but B se trouve, par définition à égale distance de F1 et de (D). Il est donc le centre d'un cercle C2 tangent à (D).

Les deux cercles C1 et C2  se coupent en F1, foyer de la première parabole (Tir1) et en F2, foyer de la nouvelle parabole (Tir2). La tangente (T2) est bissectrice de l'angle A0F2, ce qui nous permet de trouver le nouvel angle de tir.

Figure IV -1/6

IV-2 - LA BALISTIQUE DANS L'AIR

• Les problèmes de la balistique extérieure

Lors de son trajet aérien, le projectile est soumis à un certain nombre de contraintes qui donnent naissance à un système de forces. Certaines de ces forces ont une forte influence sur la trajectoire alors que d'autres ont une action moindre. Dans le cas de trajectoires relativement courtes, comme celles des projectiles d'armes de petits calibres, certains de ces effets sont inexistants et nous pouvons ne pas en tenir compte, d'autres, du fait du temps de vol réduit, n'ont pas le temps en pratique d'agir de manière sensible. Les contraintes auxquelles est soumis le projectile ont été classés en deux catégories : le problème principal et le problème secondaire.

• La classification des problèmes en balistique extérieure

Les forces agissant sur le projectile ont été classées en fonction de l'importance de leur influence sur la trajectoire.

1 - Le problème principal :

- La gravité supposée constante en intensité et direction (poids du projectile) ;

- La résistance tangentielle de l'air .

 

2 - Le problème secondaire :

- La Terre(sphéricité, rotation) ;

- La gravité(variation avec l’altitude et la longitude, convergence des verticales) ;

- L'atmosphère (variation de la densité avec l’altitude, vent atmosphérique) ;

- Le projectile (dérivation). 

Nous intéressant plus particulièrement à la balistique des armes de petits calibres, nous nous limiterons principalement à l'étude du problème principal. L'étude de la dérivation présentera néanmoins de l'intérêt afin de déterminer son influence sur des tirs à longue distance.

• Le problème principal

Durant toute la phase de son vol, le projectile est soumis principalement à deux forces : la force de gravitation qui le fait chuter vers le centre de la Terre et la force de traînée, la retardation, due à l’air dans lequel il se déplace, qui le ralentit et l’empêche d’aller aussi loin que s’il était tiré dans le vide.

Nous avons vu précédemment que les premiers projectiles étaient sphériques. Très rapidement, on s’est rendu compte que cette forme n’était pas la meilleure sur le plan de l'aérodynamisme et de la précision. Aussi la nécessité de fabriquer des projectiles plus profilés s’est imposée.
Encore faut-il pour que tout fonctionne bien, à savoir que le projectile profilé se déplace le nez en avant et que son axe longitudinal soit tangent à sa trajectoire, ce qui n'est pas forcément évident.

• Trajectoire et portée

Si l'on tirait dans le vide, c'est à dire s'il n'y avait pas d'atmosphère, notre projectile décrirait, on l'a vu, une parabole. En réalité, il partirait pour décrire une ellipse dont l'un des foyers serait le centre de la Terre. Il décrirait un cercle autour du centre de la Terre pour une vitesse précise mais, compte tenu de sa vitesse initiale, en pratique trop faible, il finirait par rencontrer la surface de notre planète.
Sa portée serait bien plus importante qu'elle ne l'est dans l'air. Une balle de fusil de guerre tirée avec un angle de 45 degrés (angle de portée maximale dans le vide), toucherait le sol plusieurs dizaines de kilomètres plus loin.

Pour avoir une idée de la forme de la trajectoire d'une balle d'arme à feu, regardons le " drive " d'un golfeur ou le tir d'un footballeur. Le début semble rectiligne puis la courbe s'incurve rapidement et la chute vers le sol est très abrupte.
La trajectoire d'un projectile est beaucoup plus plate, mais la forme est la même.

La figure IV -2/1, ci-dessous, donne une idée de la différence entre un tir dans le vide (courbe A) et un tir dans l'air (courbe B). S'il s'agit du même projectile, (les deux courbes sur le graphique ne sont pas à l'échelle), la trajectoire A est environ dix fois moins longue que celle décrite en B.

Figure IV -2/1

IV-3 - LE FREINAGE DÛ À L'AIR - LA RETARDATION

Le projectile est freiné par l'air dans lequel il se propage. Ce freinage, nommé " retardation ", dépend de nombreux paramètres tels que : la masse du projectile, son diamètre maximum ou maître couple, sa forme.

IV-3-1 - UN PEU D'HISTOIRE

Les lois de freinage ont évoluées avec le temps, l'augmentation de la vitesse des projectiles et la meilleure compréhension de l'aérodynamique.

Historiquement, l'expérience avait mis en évidence trois lois :

- La résistance de l'air est proportionnelle à sa densité ;

- La résistance de l'air est proportionnelle à la section droite du projectile ;

- La résistance de l'air R, pour les projectiles de même section et de formes peu différentes, peut être mise sous la forme R=iF(v)  où  i, appelé indice de forme (nous y reviendrons), est un coefficient indépendant de la vitesse et F(v) une même fonction de la vitesse pour tous les projectiles.

Soit :

Faisant entrer

dans F(v), on écrit

En posant

, c est le coefficient balistique du projectile.

La fonction F(v) est une accélération, celle du projectile dont le coefficient est égal à 1.  
Un phénomène non négligeable devait, au préalable, être pris en compte : la résistance de l'air varie avec la vitesse, certes, mais d'une façon peu conforme à notre expérience quotidienne.

• La résistance de l'air... pas toujours proportionnelle au carré de la vitesse

On entend souvent : " La résistance de l'air sur un mobile est proportionnelle au carré de leur vitesse relative ".
C'est vrai dans une fourchette de vitesses qui correspond à notre expérience quotidienne : vitesse d'un véhicule automobile classique, TGV, formule 1 à pleine vitesse. On va voir que l'accroissement de la vitesse des projectiles a conduit les balisticiens à reconsidérer leurs premières équations.

• La variation de la résistance de l'air avec la vitesse

La recherche en balistique était féconde dans de nombreux pays. La France a acquis une renommée internationale dans ce domaine. Il est rare de trouver un ouvrage étranger sur la balistique qui ne fait pas référence aux travaux français notamment à travers la loi de Gavre. Nous présenterons plus tard des détails sur les travaux français, mais pour l'instant restons dans les généralités historiques.

• Les conséquences de l'accroissement de la vitesse

L'accroissement de la vitesse des projectile a conduit à comparer F(v) à des fonctions monômes v2, v3, v4 voire v5 ou à des fonctions analytiques du type F(v) = a + bv  jusqu'à 350 m/s.

Ci-dessous figure un graphique présentant la variation du freinage en fonction de la vitesse. On notera sa brutale variation entre 300 et 400 m/s par seconde correspondant à la région des vitesses transsoniques illustrant bien cette notion de "mur du son".

Variation de F(v) en fonction de v

Cours de Balistique Extérieure – M.  L. Besse

Figure IV - 3-1/1

Interprétation du graphique

Le graphique ci-dessus est ancien mais est en tout point similaire aux courbes modernes représentatives des coefficients de traînées que nous aborderons plus tard. Il donne des informations intéressantes. Tout d'abord les problèmes de stabilisation du projectile sont particulièrement importants au voisinage de la vitesse du son. C'est une zone à éviter, si possible. C'est à dire qu'il est souhaitable de lancer le projectile à une vitesse bien supérieure à celle du son et éviter, si possible, que sur sa trajectoire il entre en zone transsonique avant d'avoir atteint la cible. Une autre alternative, mais réservée aux tirs à courtes distances, est de choisir la région subsonique, à savoir une vitesse nettement inférieure à celle du son.

Le "mur du son" étant passé, tout semble plus calme. La variation de la traînée est plus douce, on pourrait presque la considérer comme constante dans des gammes de vitesses assez étendues. D'où l'idée du calcul par arcs. On considère le coefficient de freinage constant sur une gamme de vitesse, la vitesse à la sortie de cette gamme correspond à la vitesse initiale de la gamme de vitesses suivante et ainsi de suite. On accole les portions de trajectoires à la suite l'une de l'autre et on obtient la trajectoire complète.

Le graphique montre également quelque chose de plus subtil qui met en évidence la faiblesse des anciennes équations. Dans ces dernières intervient la vitesse du projectile. C'est d'elle dont dépend la force de freinage. Mais si l'on regarde de plus près la position du mur du son, comme son nom l'indique sa position dépend de la vitesse du son. Si la vitesse du son "bouge" pour des causes variables mais bien réelles, le mur du son bouge en même temps, entraînant avec lui toute la courbe sur la droite ou sur la gauche. Dans les futures équations, il faudra tenir compte d'une manière ou d'une autre de la vitesse du son qui n'est pas une constante.

Mais n'anticipons pas, continuons à nous intéresser à l'évolution des connaissances

Les lois de la physique donc de la balistique étant les mêmes pour tout le monde et peut-être à cause d'une certaine porosité entre laboratoires de divers pays, des résultats proches, pour ne pas dire identiques, ont été trouvés.

• Les coefficients de Mayevski

Un balisticien russe, le colonel MAYEVSKI s'est penché, lui aussi, sur le problème et a établi une table de l'exposant de la vitesse qui n'est constant que pour des gammes de vitesses données.

Quand la vitesse augmente " n " croît, passe à trois, quatre puis cinq lorsque que l'on arrive à la vitesse du son. Il décroît fortement ensuite. Ce qui veut dire que la résistance de l'air atteint un maximum dans le voisinage de la vitesse du son (vitesse transsonique). C'est vraisemblablement pour cette raison qu'est né le terme " mur du son " inspiré par les difficultés rencontrées par les premiers constructeurs d'avions supersoniques et surtout leurs pilotes d'essais.

On trouvera ci-dessous un tableau des coefficients de Mayevski.

Figure IV - 3-1/2

Nota : Certains ouvrages donnent n = 2 pour v comprise entre 50 et 240 ms-1. Il est classique de considérer que la résistance de l’air est proportionnelle à v (n = 1) pour les vitesses faibles.

• La retardation

Les premières expérimentations dont le but étaient de définir une équation globale utilisable quelle que soit le type de projectile tiré ont abouti à des échecs. Il a donc été défini un projectile type dont les masse et calibre ont été pris comme unité pour tous les calculs, bien caractérisé au plan de sa forme, sur lequel la retardation R pouvait être mise sous une forme simple :

Equ. IV - 3-1/1

Dans cette formule, R représente la retardation exprimée en m/s/s, A une fonction dépendant des caractéristiques du projectile.

Cette équation était un bon modèle dès lors que l'on considérait que la vitesse du son était constante ou que sa variation n'avait pas d'incidence sensible sur les résultats des tirs. On l'a vu, il était nécessaire d'évoluer.

IV-3-2 - VERS UN NOUVEAU MODÈLE DE LA FORCE DE FREINAGE

L’évolution des techniques de l’armement a permis d’envoyer des projectiles à des vitesses de plus en plus élevées. On s’est rendu compte qu’une seule formule de retardation ne pouvait pas être utilisée, simplement, pour rendre compte du freinage du projectile pour toutes les gammes de vitesses dont il est animé tout au long de sa trajectoire.
De plus, les vitesses élevées, proches de la vitesse de son, voire supersoniques, n’ étaient plus le domaine réservé des artilleurs. La propulsion à réaction permettait à des avions d’atteindre ces vitesses et allait induire l’essor de l’aérodynamique. On s’est rendu compte notamment que la retardation ou la force de trainée dépendait, en réalité, non pas de la vitesse du projectile mais du rapport entre sa vitesse et celle du son. Ce rapport porte le nom de nombre de Mach en hommage au physicien qui l’a mis en évidence.

De nos jours, le freinage du projectile est représenté par une force, la trainée aérodynamique, dérivée de l’équation de Bernoulli :

Equ. IV - 3 - 2/1

Avant d'aller plus loin, il est intéressant de s'arrêter un instant sur cette formule.

Le premier membre de l'équation, la force FTrainée est exprimée en Newtons. Le  signe "-" devant le second membre indique que la force s’oppose au mouvement du projectile, ρ est la densité de l’air, V la vitesse du projectile. On note qu'elle intervient au carré qu'elle que soit la vitesse du projectile. En effet, nous ne sommes plus dans l'application des coefficients de Mayevski, l'exposant doit toujours être 2 au risque de ne plus être homogène à une force. S sa surface apparente, CT le coefficient de trainée, sans dimension. Le second membre de l’équation, exprimé ainsi, a la dimension d’une force.

• Le coefficient de traînée (Drag coefficient)CT

Le coefficient de traînée CT est une fonction de plusieurs paramètres :

avec

En pratique, on peut négliger le nombre de Reynolds lorsque le projectile ne présente pas une trop grande obliquité. Dans ce cas, le coefficient de traînée dépend seulement du nombre de Mach, soit :

Equ. IV - 3 - 2/2

Ci-dessous, l'exemple d'une coube représentative du coefficient de traînée pour un projectile de 7,62 mm Nato.

Figure IV - 3 - 2/1

Il est à noter qu'il est impossible de représenter le freinage par une seule équation généralisée. Il faudra tenir compte de la variation de CT avec la vitesse. CT varie donc au cours du vol du projectile.

• Le coefficient de traînée varie avec la forme du projectile

Le coefficient de traînée CT varie avec le nombre de Mach et la forme du projectile.

Figure IV - 3 - 2/2

• Le coefficient balistique et le facteur de forme

1 - Le coefficient balistique

D'une manière classique, on utilise la seconde loi de la mécanique : F = m.dv/dt

On introduit

avec

Equ. IV - 3 - 2/3

Il est à noter que certains ouvrages présentent le coefficient balistique C comme l'inverse de celui présenté ci-dessus. La masse descend au dénominateur et le diamètre au carré monte au numérateur. Dans ce cas C se retrouve au numérateur de la formule donnant C*T.

 

2 - Le facteur de forme

À l'étape 1, nous sommes arrivés au résultat que le coefficient balistique varie en fonction de la masse et du diamètre ou du maître couple du projectile. C'est un résultat intéressant mais sans doute insuffisant. Qu'en est-il de projectiles de même diamètre, de même masse mais de forme différente ? L'image ci-dessous illustre simplement la question.

Figure IV - 3 - 2/3

Les projectiles P₁, P₂et P₃ ont une pénétration dans l'air différentes. Cela semble évident à l'œil nu et des tests menés en soufflerie le confirment. Le coefficient balistique, tel que présenté plus haut est insuffisant, il faut tenir compte de la forme du projectile.

On introduit donc un facteur de forme que l'on nomme pour l'occasion "i". On obtient ainsi un coefficient balistique plus complet en même temps que définitif.

Equ. IV - 3 - 2/4

Pour être complet il faut aller un peu plus loin.

• Le coefficient balistique généralisé et le facteur de forme.

Quand on souhaite décrire un phénomène, on envisage tous les facteurs qui ont une influence sur ce dernier quitte, le cas échéant, de se débarrasser de certains paramètres que l'on peut, selon les cas, considérer comme négligeables.

Le coefficient balistique généralisé est donné par la relation ci-dessous :

Le facteur de forme est donné par la relation ci-dessous :

donne

ijest le rapport moyen du coefficient de traînée d’un projectile donné à celui d’un projectile normalisé déterminé expérimentalement.

Nous avons fait le choix de présenter un peu de théorie avant d'entrer plus dans les détails de ce qui se passe sur la trajectoire du projectile. Nous sommes ainsi mieux armés pour étudier les forces auxquelles il est soumis.

IV-4 - LES FORCES AUXQUELLES EST SOUMIS LE PROJECTILE

L’interaction du projectile avec l'air est à l’origine de trois forces.

Figure IV - 4/1

• Obliquité - Trièdre de référence pour le projectile

En pratique le projectile n’est jamais parfaitement aligné sur le vecteur vitesse. L'angle αt entre son axe et le vecteur vitesse s'appelle l'obliquité.

Figure IV - 4/2

L'étude des mouvements du projectile nous conduit à définir sur ce dernier un trièdre de référence.

Figure IV - 4/3

Nota : le sens des rotations peut être inversé selon les ouvrages. La balistique moderne fusionne le tangage (pitch) et le lacet (yaw) en un seul terme obliquité (yaw).

• Obliquité totale αt

L'obliquité totale du projectile présente une composante horizontale nommée angle de déviation, et une composante verticale appelée angle d'incidence ou angle d'attaque, traduction littérale de l'anglais "angle of attack".

Figure IV - 4/4

On introduit δ tel que :

• Les forces aérodynamiques et leur résultante

Par symétrie selon l'axe longitudinal, la résultante des forces aérodynamiques FR se trouve sur cet axe.

Il n'y a pas de symétrie selon l'axe transversal passant par le centre de gravité G. La force FR est à distance de ce point. La force FR et le poids P  créent un couple qui induit une rotation.

Figure IV - 4/6

Une obliquité αt même très faible à la sortie du canon produit une force FR elle-même très faible mais néanmoins suffisante pour accroître αt qui, à son tour permettra une augmentation de l'intensité de FR. Un mouvement de bascule est initié.

• Décomposition de FR résultante des forces aérodynamiques

On traite FR en deux temps.

1 - Premier temps. Réduction de FR au centre de gravité

La réduction de FR au centre de gravité donne une force équipolente à FR et un moment de rotation :

Equ. IV - 4/1

2 - Second temps. Décomposition deFR

On décompose FR en deux forces : traînée FT et portance FL (L pour "lift").

Figure IV - 4/7

• La force de traînéeFT

La force de traînée s'oppose au déplacement du projectile et sa valeur est :

Elle est colinéaire au vecteur vitesse V et de sens opposé.

• La force de portance FL

La force de portance s'exerce perpendiculairement au mouvement du projectile. À ce sujet, il peut être utile de rappeler que, sur la plupart des figures, on voit la portance dirigée vers le haut. Il faut prendre ces schémas comme des photographies instantanées sur lesquelles la portance, à ce moment précis, est dirigée vers le haut. À un autre instant, elle sera dirigée dans une autre direction, éventuellement vers le bas du fait de la précession. Il faut donc prendre garde à ne pas prendre un "instantané" comme une généralité. Il n'y a que dans l'aéronautique que l'on fait en sorte que la portance soit toujours dirigée vers le haut.

L'animation ci-dessous présente l'action de FL selon l'angle d'obliquité. FL s'applique au centre de gravité et a donc tendance à le déplacer, à chaque instant, dans la direction de son action. En regardant l'avant du projectile dans l'axe du vecteur vitesse, nous verrions le centre de gravité, s'il était sous l'influence seulement de FL, décrire un cercle, projection d'un mouvement hélicoïdal.

Sur l'animation ci-dessous, le cercle rouge est le lieu des positions successives du centre de gravité (point rouge). Le cercle vert représente la précession due à l'obliquité. FL est représentée par la flèche marron.

Action de FL sur le projectile (Passer la souris sur l'image)

Figure IV - 4/8

Rappelons que l'animation ci-dessus représente uniquement l'action de la force FL. D'autres forces vont s'ajouter qui rendront le mouvement du centre de gravité plus complexe.

La valeur de la force de portance est :

avec

Equ. IV - 4/7

On constate que :

Si l'axe du projectie était parfaitement aligné avec le vecteur vitesse, il n'y aurait pas de force de portance. Seule la traînée existerait.

Le dessin ci-dessous présente l'action instantanée des deux forces, traînée FT et portance FL.

Figure IV - 4/9

Les forces aérodynamiques tendent à provoquer un basculement du projectile. Il est indispensable de le stabiliser.

Dans le chapitre suivant, deux méthodes de stabilisation sont présentées : la stabilisation par empennage et celle par effet gyroscopique. Ces deux méthodes sont utilisables sur les armes de petits calibres. La stabilisation par empennage, du fait de la présence de ce dernier, est plutôt employée sur des projectiles sous-calibrés. L'application de l'effet gyroscopique est de loin la méthode la plus courante pour stabiliser les projectiles.

IV-5 - LA STABILISATION DES PROJECTILES

• Par nature, le projectile n'est pas stable

La balistique intermédiaire nous a montré qu’à la sortie du canon, les gaz agissant violemment sur le culot du projectile ont tendance à le déstabiliser.

A sa sortie du canon, le projectile rencontre, à grande vitesse, l’air ambiant immobile. Il subit de ce fait un choc que l’on appelle, en l’occurrence, percussion initiale et qui tend également à le déstabiliser.
De plus, on a vu que, sur tout son trajet aérien, le projectile subit un ensemble d’interactions avec l’air dont la résultante a, du fait de la symétrie de révolution, son point d’application sur l’axe longitudinal et en général éloigné du centre de gravité. Il en résulte un couple de forces qui s'applique à le faire basculer.

Le dessin ci-dessous montre un projectile instable par nature.

Figure IV - 5/1

• Les modes de stabilisation

Il existe plusieurs moyens de stabiliser des projectiles. On en abordera deux : la stabilisation par empennage et la stabilisation par effet gyroscopique.

- La stabilisation par empennage

Nous la traiterons rapidement, pour information. Mieux qu'un long discours, les schémas des figures suivantes décrivent bien la méthode qui consiste, grâce à l'empennage, à renvoyer la résultante des forces aérodynamiques loin en arrière du centre de gravité. Le couple de forces ainsi créé tend à maintenir le projectile la pointe en avant.

Un projectile muni de son empennage est stable par nature.

Figure IV - 5/2

Figure IV - 5/3

- La stabilisation par effet gyroscopique

Pour les armes de petits calibres, le mode de stabilisation généralement employé est l’effet gyroscopique.
On fait tourner le projectile à grande vitesse (plusieurs milliers de tours par secondes) selon son axe longitudinal. Les forces de freinages de l’air qui provoqueraient, sans la rotation, son basculement, lui donnent tout au plus un mouvement de précession, à condition que la vitesse de rotation soit bien choisie. Les impulsions de brèves durées dues à la poussée des gaz à la sortie du canon et à la percussion initiale induisent, elles, un mouvement de nutation qui se superpose temporairement à la précession et qui s'amortit relativement rapidement.

Les schémas ci-dessous illustrent le phénomène.

La précession

Figure IV - 5/4

La précession et la nutation

Figure IV - 5/5

En voir plus sur la stabilisation gyroscopique

IV-6 - LA TRAJECTOIRE DANS L'AIR

Le projectile étant stabilisé, il peut se déplacer selon une trajectoire dont on trouvera une représentation ci-dessous.

Figure IV - 6/1

Description du schéma

Selon l'axe des x : Tx est la projection horizontale de T et de R. Ces deux projections ont la même valeur puisque P n'a aucune action sur la composante horizontale. Sur cet axe Tx et Vx diminuent lorsque x croît.

Selon l'axe des y : Ry est la projection verticale de la somme vectorielle de T et de P . Dans la phase ascendante T et P contribuent au freinage. Dans la phase descendante T et P agissent dans des directions opposées. P a tendance à accélérer la chute et T à la freiner. La direction de R a tendance à ramener la trajectoire vers une verticale jusqu'à ce que T et P soient colinéaires. La vitesse de chute est constante quand T = - P.

De l'étude des trajectoires des projectiles sont nés quelques principes intéressants.

• Le principe de Saint-Robert

Le principe de Saint-Robert s'énonce de la manière suivante : sur une famille de trajectoire à vitesse initiale Vo et retardation initiales constantes, l’angle de tir α étant variable, les points de même éloignement OA, OB, OC sont caractérisés par des valeurs égales de l’abaissement AM, de la durée du trajet et de la vitesse restante (voir le schéma de la figure IV - 6/2ci-dessous).

Figure IV - 6/2

L'intérêt de ce principe réside dans le fait qu'à partir d'une trajectoire connue, il est possible d'en calculer d'autres avec des angles de tir différents. La condition étant que toutes les autres valeurs initiales soient identiques.

• Le principe de la rigidité de la trajectoire

Si on applique le principe précédent à une trajectoire très tendue, l'abaissement est très faible par rapport à la portée maximale. La droite O1 M1 se confond avec la droite OA . Pour atteindre le point M, il suffira d'augmenter l'angle de tir de ε. On obtient la trajectoire (T2) par simple rotation de (T1) autour de l'origine 0. Tout se passe comme si la trajectoire initiale (T1) était constituée par un fil de fer rigide. D'où  le nom de principe de la rigidité de la trajectoire (voir le schéma de la figure IV - 6/3 ci-dessous).

Il est à noter que ce principe s'applique aux faibles angles de sites.

Figure IV - 6/3

La conséquence de ce principe est que si α est l'angle de tir permettant d'atteindre un objectif à la distance X, l'angle de tir pour atteindre un objectif à la même distance sur la ligne de site d'inclinaison (faible) s sera a + s selon la méthode du parallélogramme.

• Les altérations de la trajectoire

La trajectoire d'un projectile peut être sujette à des altérations dues à l'interaction de ce dernier avec l'air. Les conséquences en sont une déviation de la trajectoire du projectile dans le plan horizontal qui ne fait plus correspondre le point d'impact au point visé. Les principales altérations sont :

- La déviation : Elle est due à un vent latéral qui applique au projectile une force dans le même sens déviant ainsi sa trajectoire dans le plan horizontal. L'effet de ce vent latéral est d'autant plus sensible que la distance de tir est importante ;

- L'effet Magnus : Lorsqu'un corps en rotation de déplace dans un flux d'air, sa surface entraîne les particules d'air de manière dissymétrique : d'un côté la vitesse de rotation de la balle est de même sens que celle des particules d'air et les accélère, ce qui entraîne une diminution de pression. De l'autre côté, la vitesse de rotation de la surface est de sens opposé aux particules d'air et les ralentit. Dans ce cas, la pression augmente. Cette différence de pression sur les côtés opposés a pour résultante une force qui dévie la trajectoire de la balle. Cet effet est bien connu en Football, Tennis etc., lorsque l'on souhaite donner un effet au ballon ou à la balle. Dans le cas d'un projectile stabilisé par rotation et présentant une certaine obliquité, l'effet Magnus dévie sa trajectoire du côté opposé à son sens de rotation.

La force de Magnus s'ajoute au système de forces (Cf. dessin ci-dessous).

Figure IV - 6/4

En voir plus sur l'effet Magnus

- La dérivation : La mécanique rationnelle nous dit qu'un corps en rotation et en translation a tendance à aligner son axe de rotation avec la tangente à sa trajectoire. Un projectile stabilisé par rotation subit donc sur l'ensemble de sa trajectoire, une rotation selon son axe transversal d'un angle au moins égal au double de l'angle de tir. Cette tendance à s'aligner sur la tangente à la trajectoire fait dire que le projectile "court après sa tangente". Il est donc constamment en retard sur cette dernière. La combinaison de la vitesse de rotation selon son axe transversal avec la vitesse de précession, à un instant donné, provoque un décalage du centre instantané de précession dans le plan horizontal. Le projectile se présente donc avec une obliquité latérale par rapport à la masse d'air qu'il rencontre. Il s'ensuit que sa trajectoire est déviée dans le plan horizontal du côté correspondant à son sens de rotation. La dérivation s'oppose à l'effet Magnus et on la nomme souvent, pour cette raison, contre-effet Magnus. Dans le cas d'un tir à courte distance ou lorsque la trajectoire est très tendue, avec un angle de tir pratiquement nul, il n'y a pas de dérivation.

La force de dérivation s'ajoute au système de forces. Elle est opposée à la force de Magnus. Pour cette raison, on appelle cette dernière contre dérivation. (Cf. dessin ci-dessous).

Figure IV - 6/5

En voir plus sur la dérivation

IV-7 - LES MODES DE DÉPLACEMENT DU PROJECTILE DANS L'AIR

Sur sa trajectoire, le projectile se fraye un passage dans l'air. Il en résulte des phénomènes remarquables qui méritent que l'on s'y arrête.

• Stabilité et vitesse transsonique

La stabilité d'un projectile dépend de la résistance de l'air. On comprend que son passage en vitesse transsonique le perturbera quelque peu. Notamment quand sa vitesse, initialement supersonique, décroît avec la distance pour devenir subsonique et que, dans le même temps, sa vitesse de rotation a également diminué.

• Les projectiles subsoniques et supersoniques. Onde de choc, onde de Mach. Sillage

Lorsque l'on ébranle localement les molécules de l'air ambiant (source sonore ou autre...), cet ébranlement se propage de proche en proche aux molécules voisines. Il se propage à une vitesse précise, qui dépend des caractéristiques du milieu, appelée vitesse spécifique. C'est la vitesse du son dans ce milieu, l'air dans notre cas (a # 340 m/s).
Il est à noter qu'il y a transfert d'énergie mais pas de matière.

- Source immobile Si la source (point noir) de l'ébranlement est immobile, les ondes générées seront soit circulaires soit sphériques selon qu'elles se propagent suivant deux ou trois dimensions spatiales. Dans tous les cas, elles seront concentriques. Lors de son vol, la pointe du projectile percute des molécules d'air (c'est la raison pour laquelle il est freiné). Cet ébranlement va se propager, sous forme d'ondes circulaires, dans toutes les directions et notamment dans la direction de la progression du projectile.

Figure IV - 7/1

- Vitesse subsonique Le projectile se déplace à une vitesse inférieure à celle du son (vitesse subsonique), les ondes sonores qu'il a générées s'éloigneront indéfiniment de lui et en particulier de sa pointe.
	Figure IV - 7/2

- Vitesse sonique ou transsonique Le projectile se déplace à la vitesse du son. Les ondes émises par l'ébranlement des molécules d'air par sa pointe restent au niveau de cette dernière. L'accumulation de ces ondes accroît localement la densité de l'air et constitue une sorte de barrière que le projectile aura du mal à franchir. L'avant du projectile sera accompagné d'un front d'onde.
	Figure IV - 7/3

- Vitesse supersonique La vitesse du projectile est supérieure à celle du son. Les ondes émises à chaque instant sont dépassées par la pointe du projectile et sont laissées derrière. Cette onde est, à la pointe du projectile, supersonique. Il s'agit d'une onde de choc. A l'arrière du projectile, les ondes sonores se propagent à la vitesse du son et interfèrent par endroit. Il se forme une accumulation d'énergie sur l'enveloppe s'appuyant sur les bords des ondes. Cette enveloppe a la forme d'un cône dont le sommet coïncide avec la pointe du projectile. Ce sillage est l'onde de Mach. C'est ce "claquement" sec que l'on entend qui se différencie nettement de l'onde de bouche.

Figure IV - 7/4

• L'onde de choc

Une onde de choc est une variation brutale de certains paramètres physiques. Une onde de choc aérienne est une variation brutale de la pression suivie dun retour à la normale précédé d'une phase de dépression.

Figure IV - 7/5

Caractéristiques d'une onde de choc.

 

En milieu aérien une onde de pression doit répondre à un certain nombre de critères pour prétendre au sytatut d'onde de choc :

1 - La vitesse relative de l’onde augmente avec l’amplitude du choc ;

2 - La vitesse du son derrière l’onde de choc est toujours supérieure à celle de l’onde ;

3 - Une onde de choc est toujours subsonique par rapport au milieu derrière elle ;

4 - Le choc est toujours supersonique par rapport au milieu qu’il rencontre ;

5 - Une onde de choc n’est pas une onde d’accélération (qui se propage à la vitesse du son).

Nous retiendrons particulièrement la caractéristique 4. Elle nous indique que pour qu'un projectile puisse créer une onde de choc, il doit avoir une vitesse supersonique dans le milieu dans lequel il se déplace. La vitesse du son dans les tissus biologiques est légèrement supérieure à 1500 m/s. C'est une vitesse bien supérieure à celle des projectiles à haute vélocité tel que la .223 Remington (5,56 x 45mm). Dans le domaine de la balistique lésionnelle, même ces projectiles très rapides ne peuvent pas créer une onde de choc dans les tissus organiques. On ne peut donc pas attribuer les lésions observées ou une partie de ces dernières à l'effet d'une onde de choc.

L'image ci-dessous représente l'ombroscopie d'un projectile de 7,62 mm se déplaçant à la vitesse de 1,3 Mach.

Figure IV - 7/6

V - BALISTIQUE TERMINALE

La balistique terminale correspond à la phase d'interaction du projectile avec la cible. Les cibles étant de multiples natures, il existe donc de nombreuses spécialités en balistique terminale.

Pour les armes de petits calibres, la cible est généralement le combattant et la balistique terminale correspondante est la balistique lésionnelle.

Dans la suite, nous présentons quelques éléments de balistique lésionnelle.

V-1 - LA BALISTIQUE LÉSIONNELLE

La balistique lésionnelle est l'étude de l'interaction projectile/tissus vivants. L'analyse systématique des lésions à permis de mettre en évidence un modèle lésionnel : le profil lésionnel.

• La notion de profil lésionnel

Introduit par J. BRETAU et M. FACKLER, le profil lésionnel, illustré ci-dessous, décrit l'interaction entre le projectile et la cible.

Figure V - 1/1

A : trajet proximal (Neck).

B : Zone de bascule ou de champignonnage.

C : Trajet distal.

• Les trois principaux modes d'action d'un projectile

Globalement, lorsqu'un projectile interagit avec une cible, il peut présenter trois sortes de comportements :

1 - La bascule ou retournement ;

2 - L'expansion ;

3 - La fragmentation ;

Ci-dessous se trouve un dessin schématisant ces trois modes d'action.

Figure V - 1/2

Les graphiques ci-dessous sont des résultats d'expérimentations. Ils illustrent la corrélation entre l'attitude du projectile en cible, sa décélération et l'importance des lésions.

Figure V - 1/3

• Différents projectiles, différents effets

On dote les projectiles de formes et de structures diverses selon l'effet souhaité en cible.

Figure V - 1/4

* Les projectiles ci-dessus ne sont pas à l'échelle.

• Les tests - Les matériaux de référence

Expérimentalement, une méthode d'étude du potentiel lésionnel des projectiles consiste à réaliser des tirs sur des matériaux de référence (gélatine, gels balistiques) appelés un peu abusivement "simulants".

Les analyses des retours d'expériences du terrain concernant les effets lésionnels des projectiles, associées à l'étude de leurs comportements sur "simulants", permettent de générer des matrices de transfert autorisant l'extrapolation des observations sur "simulants" aux effets lésionnels susceptibles d'être constatés sur les tissus vivants.

Ci-dessous, on trouvera deux exemples de tir sur des blocs de gélatine.

Figure V - 1/5

Figure V - 1/6

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